从点A到点B的最速降线是一条摆线。
最速降线问题,又称最短时间问题、最速落径问题。问题如下:假想你正在侧视的场景有高低不同的两点,且高点不是在低点的正上方,若从高点放开一个静止的质点让它沿着任一路径(直线、曲线、或折线皆可)滑到低点,其间只有均匀的重力作用而没有摩擦力,则怎样的路径可让这段行程的时间最短?在部分欧洲语言中,这个问题称为Brachistochrone,即希腊语中的“最短”(brachistos)和“时间”(chronos)。本问题的解答是摆线(而非很多人会猜想的直线),可以用变分法证明。
1638年,伽利略在《论两种新科学》中以为此线是圆弧。约翰·伯努利参考之前分析过的等时降落轨迹,证明了此线是摆线,并在1696年6月的《博学通报》发表。艾萨克·牛顿、雅各布·伯努利、莱布尼兹和洛必达都得出同一结论,即正确的答案应该是摆线的一段。除了洛必达的解外,其他人的解都在1697年5月的《博学通报》出现。
约翰·伯努利的证明[编辑]
费马原理说明,两点间光线传播的路径是所需时间最少的路径。约翰·伯努利利用该原理,对此问题进行解决。
运用机械能守恒定律,可以导出在恒定重力场中运动的物体的速度满足
,
式中y表示物体在竖直方向上落下的距离,g为重力加速度。通过机械能守恒可知,经不同的曲线落下,物体的速度与水平方向的位移无关。
通过假设光在光速v在满足:
的传输介质中运动形成的轨迹来导出最速降线。
约翰·伯努利注意到,根据折射定律,一束光在密度不均的介质中传播时存在一常数
,
式中vm为常数(可认为为真空中光速c,θ为轨迹与竖直方向的夹角,dx为水平方向路径微分,ds为运动方向路径微分。
通过上述方程,我们可以得到两条结论:
- 在刚开始,当质点的速度为零时,夹角也必然是零。因此,最速降线在起始处与竖直方向相切。
- 当轨迹变为水平即夹角变为90°时,速度达到最大。
为了简化过程,我们假设质点(或光束)相对于原点(0,0)有坐标(x,y),且当下落了竖直距离D后达到了最大速度,则
.
整理折射定律式中的各项并平方得到
![{\displaystyle v_{m}^{2}(dx)^{2}=v^{2}(ds)^{2}=v^{2}((dx)^{2}+(dy)^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a0f56519a5eccf36f85df24670938acf844db1a)
可以解得dx对dy有
.
代入v和vm的表达式得到
![{\displaystyle dx={\sqrt {\frac {y}{D-y}}}dy}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edce06cbd1ebbeb9e612eef1c3d5f158eed2e152)
这是一个由直径为D的圆所形成的倒过来的摆线的微分方程。
雅各布·伯努利的证明[编辑]
约翰的哥哥雅各布·伯努利说明了如何从二阶微分得到最短时间的情况。一种现代版本的证明如下。
如果我们从最短时间路径发生微小移动,那么形成三角形满足
.
dy不变求微分,得到
![{\displaystyle 2ds\ d^{2}s=2dx\ d^{2}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fae58d965f432b499af2ec97915a006e54d2174c)
最后整理得到
![{\displaystyle {\frac {dx}{ds}}d^{2}x=d^{2}s=v\ d^{2}t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5d67d238cc5eb20c33bed4906a251ae07b11b1d)
最后的部分即二阶微分下距离的改变量与给定的时间的关系。现在考虑下图中的两条相邻路径,中间的水平间隔为d2x。对新旧两条路径,改变量为
![{\displaystyle d^{2}t_{1}={\frac {1}{v_{1}}}{\frac {dx_{1}}{ds_{1}}}d^{2}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c13ec819992a37072e437fb1b6d126b43a3c057)
![{\displaystyle d^{2}t_{2}={\frac {1}{v_{2}}}{\frac {dx_{2}}{ds_{2}}}d^{2}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a43283d91d6bd84bb36e173f495802d83774fd75)
对于最短时间的路径,两个时间相等,故得到
![{\displaystyle d^{2}t_{2}-d^{2}t_{1}=0={\bigg (}{\frac {1}{v_{2}}}{\frac {dx_{2}}{ds_{2}}}-{\frac {1}{v_{1}}}{\frac {dx_{1}}{ds_{1}}}{\bigg )}d^{2}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8529cad3783061363a7b2bf02ca66e9de29ac3e7)
因此最短时间的情况为
![{\displaystyle {\frac {1}{v_{2}}}{\frac {dx_{2}}{ds_{2}}}={\frac {1}{v_{1}}}{\frac {dx_{1}}{ds_{1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35ccdc84c317a9bf40713cfe9b369137ebbda9bd)
最速降线的数学形式与最短时间[编辑]
在垂直平面上,自原点
至目的地
的最速降线具有以下数学形式:
[1]
这里的
座标轴方向向下,且
;
为此摆线参数表达式的参数,原点处
。
物体自原点沿最速降线滑至
处所需的时间可由以下积分式给出:
。
利用
以及
,并以
作为参数,整理后得
![{\displaystyle {\frac {ds}{v}}={\frac {k}{\sqrt {2g}}}\mathrm {d} \theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51e94a0fabb0f57f1f98c0dec26fd60ddea7263a)
。
自此摆线的参数式中易知
的最大值为
,此值必须等于摆线的绕转圆直径
,因此
![{\displaystyle k={\sqrt {2r}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0db8af008041420e640add1a00c43174e09a4a7)
。
现假设终点与原点直线距离
,且终点对原点的仰角为
。利用此摆线的参数式,可知
![{\displaystyle l={\sqrt {x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}}=r{\sqrt {\left(\theta -\sin \theta \right)^{2}+\left(1-\cos \theta \right)^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bbb2adbea6172bbaaffcd87d575324d09cb4ddc)
最速降线问题的终点俯角-最短下滑时间关系曲线。图中原点到终点的直线距离定为1.00米,下滑时间随俯角增大而缩短。
![{\displaystyle \tan \phi ={\frac {y_{1}}{x_{1}}}={\frac {1-\cos \theta }{\theta -\sin \theta }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3f92b183ae08ea1fa36d0c5c955c938395387b7)
利用
的关系式求出
,并代回下滑时间中,得
![{\displaystyle t\,\left(\,l,\,\theta \right)={\sqrt {\frac {l}{g}}}{\frac {\theta }{\sqrt[{4}]{\left(\theta -\sin \theta \right)^{2}+\left(1-\cos \theta \right)^{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e79681b528aba5f96a77cf4da126111b4886e7d)
综合上述,讨论在
已知的情况下,下滑时间
与俯角
的关系为
。
外部链接[编辑]
参考资料[编辑]
- ^ Brachistochrone Problem -- from Wolfram MathWorld. [2014-08-10]. (原始内容存档于2020-11-12).